Hardy-Weinbergs princip

Hardy–Weinbergs princip anger de genotypfrekvenser som följer av allelfrekvenserna i en stor, slumpmässigt parande population utan evolutionära störningar och fungerar som populationgenetikens centrala nollmodell. Den används kliniskt för att uppskatta sjukdoms- och bärarfrekvenser, granska genotypdata och identifiera populationsstruktur. Slutsatserna är dock giltiga endast för den definierade populationen och det aktuella locuset, och endast i den mån modellens antaganden och datakvaliteten är rimliga.

Principens innebörd och avgränsning

Hardy–Weinbergs princip beskriver sambandet mellan allelfrekvenser och genotypfrekvenser vid ett locus. För ett autosomalt, bialleliskt locus med allelerna (A) och (a), vars frekvenser betecknas (p) respektive (q), gäller (p+q=1). Vid slumpmässig förening av gameter blir de förväntade genotypfrekvenserna (p^2) för (AA), (2pq) för (Aa) och (q^2) för (aa).

Två närliggande men skilda påståenden måste hållas isär. Hardy–Weinberg-proportioner innebär att genotypfrekvenserna i en viss generation överensstämmer med (p^2:2pq:q^2). Hardy–Weinberg-jämvikt i striktare mening innebär dessutom att allelfrekvenserna är konstanta mellan generationerna. En population kan således ha Hardy–Weinberg-proportioner i varje ny zygotgeneration samtidigt som selektion, migration eller mutation långsamt ändrar (p) och (q) över tid.

Dominans är en relation mellan genotyp och fenotyp, inte en kraft som automatiskt förändrar allelfrekvenser. En dominant allel behöver därför inte vara vanlig, och en recessiv allel elimineras inte enbart därför att den är recessiv. Om genotyperna har samma överlevnad och reproduktiva framgång överförs allelerna enligt sina frekvenser oavsett vilken fenotyp heterozygoten uppvisar.

Modellen gäller populationer, inte den mendelska segregationen i en enskild familj. Om två verifierade heterozygota bärare av samma autosomalt recessiva sjukdomsallel får barn är sannolikheten per graviditet 25 % för ett afficierat barn, 50 % för ett heterozygot barn och 25 % för ett barn utan sjukdomsallelen. Dessa familjerisker bestäms av föräldrarnas genotyper och ska inte ersättas med populationsfrekvenser.

Antaganden och deras biologiska innebörd

Den enkla modellen är avsedd för ett diploid organismstadium med sexuell reproduktion. Varje individ bidrar då med två allelkopior till genpoolen, och varje haploid gamet innehåller en kopia. Vid könsuppdelade populationer förutsätts allelfrekvenserna vara lika i de två könens gametpooler; annars måste maternella och paternella bidrag modelleras separat.

Slumpmässig parning avser det aktuella locuset. Populationen behöver alltså inte vara panmiktisk för alla egenskaper, men valet av partner får inte bero på den studerade genotypen eller på egenskaper som är genetiskt korrelerade med den. Icke överlappande generationer förenklar modellen genom att varje generation bildas från en väldefinierad föregående gametpool. Hos människor överlappar generationerna, men principen kan ändå fungera som en god approximation i avgränsade födelsekohorter.

Den idealiserade oändliga populationsstorleken ersätts biologiskt av en stor effektiv populationsstorlek, (N_e). Denna kan vara betydligt mindre än det faktiska antalet individer genom ojämn könskvot, variation i antal avkommor, populationsfluktuationer och släktskap. Ett litet (N_e) medför genetisk drift även när folkräkningsstorleken är stor.

Frånvaro av selektion innebär lika genotypspecifik fitness, det vill säga samma sammanvägda sannolikhet för överlevnad och reproduktion. Mutation, migration och genetisk drift förändrar främst allelfrekvenserna. Efter slumpmässig parning kan den nya generationen ändå ligga i Hardy–Weinberg-proportioner relativt sina nya allelfrekvenser.

Meiotisk drive och annan transmissionsdistorsion bryter däremot mot den mendelska sannolikheten 1/2 för vardera allelen hos en heterozygot. Sexuell selektion kan verka både genom partnerval och genom skillnader i reproduktiv framgång. Den kan därför påverka såväl den momentana genotypfördelningen som allelfrekvenserna över flera generationer.

Matematisk härledning för ett bialleliskt autosomalt locus

Antag att frekvensen av (A) i gametpoolen är (p) och frekvensen av (a) är (q). Eftersom inga andra alleler finns gäller

[ p+q=1. ]

Vid slumpmässig förening är de två gameternas allelinnehåll oberoende. Sannolikheten för (AA) är därför (p\cdot p=p^2), medan (aa) fås med sannolikheten (q^2). Heterozygoten kan bildas på två ordnade sätt, (A) från den ena gameten och (a) från den andra eller tvärtom, vilket ger (pq+qp=2pq).

[ (p+q)^2=p^2+2pq+q^2=1. ]

Stabiliteten visas genom att räkna tillbaka allelfrekvensen i avkomman. Varje (AA)-individ bidrar enbart med (A), medan hälften av allelerna hos (Aa)-individer är (A):

[ p'=p^2+\frac{1}{2}(2pq)=p^2+pq=p(p+q)=p. ]

På motsvarande sätt gäller

[ q'=q^2+\frac{1}{2}(2pq)=q^2+pq=q(p+q)=q. ]

Initiala genotypfrekvenser behöver inte vara (p^2:2pq:q^2). Om en population exempelvis har frekvenserna 0,49 (AA), 0,02 (Aa) och 0,49 (aa), är (p=q=0,5), trots den uttalade heterozygotbristen. Efter en generation av slumpmässig parning blir frekvenserna 0,25, 0,50 och 0,25. Återställningen av genotypproportionerna tar således en generation, förutsatt att gametpoolernas allelfrekvenser är lika och inte förändras av andra mekanismer.

Beräkning från observerade genotyper

När alla genotyper kan särskiljas skattas allelfrekvenserna genom genräkning. För (N) diploida individer finns (2N) allelkopior:

[ p=\frac{2N_{AA}+N_{Aa}}{2N},\qquad q=1-p. ]

De förväntade antalen under Hardy–Weinberg-proportioner är (Np^2), (N2pq) och (Nq^2).

Antag 1 000 individer med 640 (AA), 240 (Aa) och 120 (aa). Antalet (A)-alleler är (2\cdot640+240=1,520), varför (p=1,520/2,000=0,76) och (q=0,24).

Förväntade antal behöver inte vara heltal; avrundning ska normalt inte göras före den statistiska analysen. Tabellen visar en kraftig heterozygotbrist och överskott av båda homozygoterna. En möjlig förklaring är inavel eller populationsstruktur, men tekniska genotypfel måste också övervägas.

Saknade genotyper ska uteslutas lokusspecifikt från nämnaren, så att (N) avser individer med tillförlitlig genotyp vid just detta locus. Vid slumpmässigt urval kan standardfelet för allelfrekvensen approximativt skrivas

[ SE(\hat p)\approx \sqrt{\frac{p(1-p)}{2N}}. ]

Approximationen förutsätter i praktiken oberoende allelkopior och underskattar osäkerheten vid släktskap, populationsstruktur eller omfattande tekniska fel.

Heterozygositet, inavel och populationsstruktur

För två alleler är den förväntade heterozygositeten

[ H_e=2pq. ]

För (k) alleler generaliseras den till

[ H_e=1-\sum_{i=1}^{k}p_i^2. ]

Den observerade heterozygositeten, (H_o), är den faktiska andelen heterozygota individer. Ett vanligt mått på relativ heterozygotbrist är

[ F_{IS}=1-\frac{H_o}{H_e}. ]

Positivt (F_{IS}) anger heterozygotbrist, medan negativt värde anger heterozygotöverskott. Måttet blir instabilt när (H_e) ligger nära noll, såsom för mycket sällsynta eller nästan fixerade alleler, och bör då inte tolkas isolerat.

Inavelskoefficienten (F) kan beskrivas som sannolikheten att en individs två alleler vid ett locus är identiska genom härstamning. Med sannolikheten (1-F) bildas genotypen genom oberoende alleldragning; med sannolikheten (F) är de två kopiorna härledda från samma ancestrala allel. Detta ger

[ P(AA)=p^2+Fpq, ]

[ P(Aa)=2pq(1-F), ]

[ P(aa)=q^2+Fpq. ]

Den minskning av heterozygoter som uppgår till (2Fpq) fördelas som ett tillskott (Fpq) till vardera homozygotklassen. Allelfrekvenserna förblir (p) och (q); inavel omfördelar alltså alleler mellan genotyper utan att omedelbart ändra deras marginalfrekvenser. Kliniskt ökar detta sannolikheten för homozygoti av sällsynta recessiva sjukdomsvarianter.

Wahlund-effekten uppstår när genetiskt skilda delpopulationer, som var och en kan ligga i Hardy–Weinberg-proportioner, analyseras som en gemensam population. Om deras allelfrekvenser skiljer sig blir den sammanlagda heterozygositeten lägre än (2\bar p\bar q), beräknad från den poolade allelfrekvensen. Detta är centralt i fall–kontrollstudier och i material med blandad geografisk härkomst.

Mekanismer som bryter jämvikten

Genetisk drift är slumpmässig sampling av alleler mellan generationer. För ett autosomalt locus i en diploid population kan variansen i allelfrekvensförändringen approximeras med

[ \operatorname{Var}(\Delta p)\approx\frac{pq}{2N_e}. ]

Effekten är störst vid litet (N_e) och kan leda till fixation eller förlust av alleler. En flaskhals minskar tillfälligt den genetiska variationen, medan en grundareffekt uppstår när en ny population etableras av ett litet, genetiskt icke-representativt urval.

Genflöde ändrar allelfrekvensen i en mottagarpopulation enligt

[ \Delta p=m(p_m-p), ]

där (m) är migrantandelen och (p_m) allelfrekvensen bland migranterna. Efter slumpmässig parning kan avkomman åter ligga i Hardy–Weinberg-proportioner vid den nya frekvensen. Om migranter och lokala individer initialt utgör separata parningsgrupper uppstår däremot admixture och Wahlund-effekt.

Mutation skapar eller omvandlar alleler. Mutationsfrekvenser per locus och generation ligger typiskt omkring (10^{-4})–(10^{-8}), beroende på locus, varianttyp och organism. Effekten på en vanlig allels frekvens är vanligen liten per generation, men återkommande mutation kan upprätthålla sjukdomsalleler som motverkas av selektion.

Selektion verkar genom skillnader i genotypspecifik fitness, ofta skriven (w_{AA}), (w_{Aa}) och (w_{aa}). Efter selektion viktas genotypfrekvenserna med respektive fitness och normaliseras med populationens medelfitness. Dominant, recessiv, additiv eller överdominant effekt ger olika dynamik; heterozygotfördel kan bevara båda allelerna, medan riktad selektion ofta driver en allel mot fixation.

Genetisk hitchhiking är i grunden en flerlokusprocess: en neutral variant ökar därför att den är kopplad till en positivt selekterad variant. Den ska skiljas från Hardy–Weinberg-avvikelse vid ett enskilt locus och från kopplingsobalans mellan loci. Ett locus kan ligga i Hardy–Weinberg-proportioner men ändå ingå i en starkt överrepresenterad haplotyp.

Statistisk prövning av Hardy–Weinberg-proportioner

Nollhypotesen är att observerade genotypantal har genererats under Hardy–Weinberg-proportioner. Allelfrekvenserna skattas ur data, varefter förväntade antal beräknas. Pearson-statistikan är

[ \chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}. ]

För ett bialleliskt locus finns tre genotypklasser, men en allelfrekvens skattas och totalsumman är fixerad. Frihetsgraden blir därför (3-1-1=1). Vid en frihetsgrad motsvarar (\chi^2=3,84) ungefär signifikansnivån 0,05. För exemplet med 640, 240 och 120 individer blir (\chi^2) cirka 117, vilket är en tydlig statistisk avvikelse.

Den asymptotiska (\chi^2)-approximationen är olämplig när förväntade celltal är små, vanligen när någon cell ligger under 5. Detta är vanligt för sällsynta varianter eftersom den sällsynta homozygoten har förväntat antal (Nq^2). Sammanslagning av biologiskt skilda genotypklasser är normalt inte en lämplig lösning.

Exakta test villkorar på observerade allelantal och bedömer om antalet heterozygoter är extremt. Mid-(p)-metoden minskar konservatismen hos diskreta exakta test. För multialleliska loci eller stora tillståndsrum kan permutation eller Markovkedje-Monte-Carlo användas för att approximera den exakta fördelningen.

Utebliven signifikans bevisar inte jämvikt; testet kan sakna styrka. Om syftet är att visa praktiskt tillräcklig överensstämmelse bör en tolerans för relevant avvikelse fördefinieras och ett ekvivalenstest övervägas. Omvänt kan mycket stora biobanker ge statistisk signifikans för triviala avvikelser, varför effektstorlek, exempelvis (F_{IS}), och tekniska kvalitetsmått måste redovisas.

Avvikelse som kvalitetsindikator i genetiska studier

Hardy–Weinberg-test används ofta som kvalitetskontroll av SNP- och sekvenseringsdata. Alleldropout, där den ena allelen i en heterozygot inte detekteras, omklassificerar heterozygoter som homozygoter och ger heterozygotbrist. Bristfällig klusterseparation i genotypningsarray kan på liknande sätt flytta heterozygota signaler till någon av homozygotklasserna.

Sekvenseringsfel kan skapa falska heterozygoter, särskilt vid lågt läsdjup eller systematiska mappningsfel. Provkontamination ger ofta heterozygotöverskott eftersom DNA från flera individer blandas. Dubbletter och nära släktingar förändrar inte nödvändigtvis genotypkvoterna systematiskt men minskar den effektiva stickprovsstorleken och kan förstärka avvikande familjespecifika alleler.

Felklassificerat kön kan upptäckas genom avvikande heterozygositet på X-kromosomen eller olämpligt kallade genotyper på Y-kromosomen. Pseudoautosomala regioner måste dock skiljas från övriga X, eftersom de är diploida hos båda könen och rekombinerar mellan X och Y.

Testning bör göras inom ancestriellt homogena kontrollgrupper, inte enbart i sammanslagna material. Bland fall kan en verklig sjukdomsassociation ge Hardy–Weinberg-avvikelse genom att vissa genotyper är överrepresenterade. Fördefinierade kvalitetsgränser ska därför värderas tillsammans med call rate, allelbalans, läsdjup, strand- och batch-effekter samt teknisk replikation.

Medicinsk genetik: sjukdoms- och bärarfrekvenser

För ett autosomalt recessivt tillstånd med full penetrans, en enda sjukdomsallel och Hardy–Weinberg-proportioner är sjukdomsprevalensen

[ P(aa)=q^2. ]

Bärarfrekvensen är

[ P(Aa)=2pq=2q(1-q). ]

När (q) är liten gäller (p=1-q\approx1), varför bärarfrekvensen kan approximeras med (2q).

Vid en incidens på (1/2,500) blir

[ q=\sqrt{\frac{1}{2,500}}=0,02. ]

Den exakta förväntade bärarfrekvensen är (2\cdot0,02\cdot0,98=0,0392), alltså 3,92 % eller ungefär 1 av 26. Approximationen (2q) ger 4 %, vilket är nära men inte identiskt.

Beräkningen förutsätter att den registrerade incidensen motsvarar (q^2). Den blir felaktig vid ofullständig penetrans, flera sjukdomsalleler med olika effekter, locusheterogenitet, konsangvinitet eller mortalitet före diagnos. Vid sammansatt heterozygoti måste den samlade frekvensen av patogena alleler och deras kombinationer beaktas.

För ett autosomalt dominant tillstånd där (A) är sjukdomsallelen blir den genetiskt disponerade andelen

[ P(AA\ \text{eller}\ Aa)=p^2+2pq=1-q^2. ]

I kliniken är enkel baklängesberäkning från prevalens ofta missvisande. Sen debut, reducerad och åldersberoende penetrans, de novo-varianter, allel- och locusheterogenitet, prenatal eller preklinisk selektion och selektiv klinisk ascertainment bryter sambandet mellan populationsprevalens och allelfrekvens.

Klinisk riskkommunikation och begränsningar

En populationsbaserad bärarfrekvens är en priorrisk för en person utan ytterligare information. Släktanamnes, härkomst, genetiskt testresultat och testets analytiska och kliniska sensitivitet ändrar denna till en individuell posterior risk. Ett negativt test eliminerar sällan bärarskap eftersom panelen kan sakna ovanliga patogena varianter eller varianttyper som metoden inte detekterar.

Residualrisken efter negativt test beror på den ursprungliga bärarfrekvensen och detektionsgraden. Den bör därför kommuniceras som en kvarstående sannolikhet, inte som att bärarskap är uteslutet. Om båda parter däremot är verifierade bärare av patogena varianter i samma gen för ett autosomalt recessivt tillstånd är risken för afficierad avkomma 25 % per graviditet, oberoende av hur vanlig sjukdomen är i populationen.

Konsangvinitet ökar sannolikheten att båda parter bär samma variant identisk genom härstamning. Founder-varianter kan ge mycket hög lokal allelfrekvens trots låg frekvens globalt. Screening i selekterade högriskpopulationer kan därför inte utan vidare extrapoleras till en blandad befolkning.

Blandad härkomst gör en enda populationsfrekvens svårtolkad, särskilt när referensdatabaser har ojämn representation. Incidensdata kan dessutom underskatta sjukdomsfrekvensen genom ofullständig diagnostik, prenatal död, tidig mortalitet eller bristande registrering. Vid sen debut kan prevalensen i unga kohorter inte likställas med livstidsrisken.

Könskromosomala loci och andra specialfall

För ett bialleliskt X-kromosomalt locus med allelfrekvenserna (p) och (q) följer kvinnors genotyper, under relevanta antaganden, (p^2), (2pq) och (q^2). Män är hemizygota och har allelfrekvenserna (p) respektive (q); för en fullt penetrant X-bundet recessiv allel motsvarar därför (q) direkt andelen afficierade män.

Vid könskvoten 1:1 finns två X-kromosomer per kvinna och en per man. Två tredjedelar av populationens X-kromosomer återfinns därför hos kvinnor och en tredjedel hos män. Den sammanvägda allelfrekvensen kan skrivas

[ p_X=\frac{2p_f+p_m}{3}. ]

Om frekvenserna initialt skiljer sig mellan könen får söner sin X-frekvens från mödrarna, (p'_m=p_f). Döttrar får en X-kromosom från vardera föräldern, varför (p'_f=(p_f+p_m)/2). Skillnaden mellan könen minskar generationsvis med växlande tecken snarare än att försvinna enligt den autosomala engenerationsregeln.

Y-bundna loci överförs endast från far till son och saknar diploid heterozygotklass. Mitokondriella varianter är maternellt nedärvda och kompliceras av heteroplasmi, replikativ segregation och tröskeleffekter. Pseudoautosomala loci rekombinerar mellan X och Y och kan ofta analyseras diploidiskt, medan imprintade loci kräver information om föräldraursprung eftersom samma allel kan få olika fenotypisk effekt beroende på transmissionens riktning.

Flera alleler, fenotyper och polyploidi

För ett locus med (k) alleler gäller

[ \sum_{i=1}^{k}p_i=1. ]

De förväntade frekvenserna är

[ P(A_iA_i)=p_i^2 ]

för homozygoter och

[ P(A_iA_j)=2p_ip_j,\quad i\ne j ]

för heterozygoter. Den totala heterozygositeten är (1-\sum p_i^2).

ABO-systemet illustrerar skillnaden mellan genotyp och fenotyp. Allelerna (I^A) och (I^B) är kodominanta sinsemellan och båda dominanta över (i).

Fenotyp O identifierar genotypen direkt och AB identifierar en specifik heterozygot, men fenotyperna A och B sammanför homozygoter och heterozygoter. Skattning av allelfrekvenser från enbart fenotypantal blir därför ett likelihoodproblem där sannolikheten för hela fenotypfördelningen maximeras under modellens restriktioner. Direkt genotypning medger däremot vanlig genräkning.

För ploiditalet (c), (k) alleler och en genotyp med (n_i) kopior av allel (i), där (\sum n_i=c), är den formella multinomiala frekvensen

[ \frac{c!}{n_1!\cdots n_k!}\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}. ]

För en tetraploid med två alleler fås exempelvis (p^4), (4p^3q), (6p^2q^2), (4pq^3) och (q^4). Denna enkla generalisering förutsätter oberoende sampling av allelkopior. Polysomisk nedärvning, dubbel reduktion vid meios, alleldosproblem och allopolyploidi med subgenomspecifik parning kan kräva andra modeller.

Tolkning, vanliga tankefel och historisk betydelse

Hardy–Weinbergs princip är en lokus-, generation- och populationsspecifik nollmodell. Att ett locus ligger i förväntade proportioner betyder inte att populationen saknar evolution, och avvikelse vid ett locus innebär inte att alla loci avviker. Ett locus kan återgå till Hardy–Weinberg-proportioner efter varje generation samtidigt som dess allelfrekvens successivt ändras.

En observerad avvikelse identifierar inte ensam orsaken. Heterozygotbrist kan orsakas av inavel, assortativ parning, Wahlund-effekt eller alleldropout. Heterozygotöverskott kan bero på disassortativ parning, heterozygotselektion, kontamination eller felaktig genotypklassificering. Biologiska och tekniska förklaringar måste särskiljas med studieupplägg, kvalitetsmått och replikation.

Vanliga tankefel är att dominanta alleler måste vara vanliga, att recessiva alleler successivt försvinner och att fenotypfrekvens alltid motsvarar allelfrekvens. En sällsynt dominant sjukdomsallel kan vara mycket ovanlig genom negativ selektion eller återkommande de novo-mutation. En recessiv allel kan döljas i heterozygoter, och vid dominans kan fenotypdata inte skilja heterozygoter från dominanta homozygoter utan ytterligare information.

Principen formulerades oberoende 1908 av den brittiske matematikern G. H. Hardy och den tyske läkaren Wilhelm Weinberg. Den löste en tidig konflikt kring mendelsk nedärvning genom att visa att dominans i sig inte driver en allel mot fixation. Dess bestående betydelse ligger mindre i att verkliga populationer exakt uppfyller modellen än i att modellen gör avvikelser mätbara och därmed biologiskt och kliniskt tolkbara.

Källor

• Hardy–Weinberg principle
• Hardy-Weinbergs lag
• Hardy–Weinberg principle
• Bild: File:Hardy-Weinberg.svg — Johnuniq, CC BY-SA 3.0
• Bild: File:Schemat punneta2.svg — Tebeuszek, CC BY-SA 3.0
• Bild: File:De Finetti diagram.svg — SVG Beao; original Steve Caruso, CC BY-SA 2.5